1、一个长方体，长与宽的比是4:3，宽与高的比是5:4，体积是450立方分米。

2、这个长方体的长，宽，高各是多少厘米？ 甲、乙、丙三人进行800米赛跑（假设三人在跑的过程中速度不变）当乙到终点时，丙距离终点还有25米，甲离终点还有40米，问当丙到达终点时，甲距离终点还有都少米？？？ 一项工程甲先做A小时后，甲乙两人合作完成时，甲做了4/5；如果乙先做A小时，甲乙两人合作完成时，甲做了这项工程的2/5，这项工程由甲独做要20小时完成，如果由甲乙两人同时合作要几小时完成？ 有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数的比是2：5，现在用这些纸板拼成一些竖式（由一块正方形纸板，四块长方形纸版做侧面）和横式（由一块长方形做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面的无盖纸盒，那么竖式纸盒与横式纸盒之比是多少? 一项工程甲先做A小时后，甲乙两人合作完成时，甲做了4/5；如果乙先做A小时，甲乙两人合作完成时，甲做了这项工程的2/5，这项工程由甲独做要20小时完成，如果由甲乙两人同时合作要几小时完成？ 一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高的比是多少? 一种商品，今年的成本比去年增加了1/10，但仍然保持原售价，因此，每份利润下降2/5，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？ 甲乙两个车间人数的比为3：4，如果甲车间增加20人，已车间增加40人，责两个车间的人数比为2：3。

3、原来甲、乙两个车间各有多少人？ 有一只闹钟，每小时慢3分钟，早上8点对准了标准时间。

(相关资料图)

4、当闹钟指向12时时，标准时间应该是多少？ 甲容器中有8％的盐水300克，乙容器中有12.5％的盐水12克。

5、往甲、乙倒入相等的水，使两个容器的盐浓度一样。

6、每个容器应倒多少水？ 1．兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数．如果老三把所得苹果数的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等，求现在兄弟三人的年龄各是多少岁？ 2.如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，则所得物体的表面积为______． 3.邻居小明和小亮同时骑车出发到达同一目的地。

7、途中，小明休息的时间是小亮骑车时间的三分之一，而小亮休息的时间是小明骑车时间的四分之一，那么小明和小亮骑车的速度比是多少? 4.张、王、李、赵四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场。

8、结果张胜了赵，并且张、王、李三人胜的场数相同，则赵胜了多少场 ? 5.祖孙三代，其中爷爷和孙子年龄的乘积是1521，爷爷，爸爸和小孩子年龄的乘积是个完全平方数，请问：各是几岁？ 6.一次数学竞赛，小王做对的题目占题目总数的2/3，小李做错了5题，两人都做错的题数占题目总数的1/4，小王做对了多少题？ 7.4、甲、乙、丙三数之和是116，甲数除以乙数，丙数除以甲数，都是商2余1，那么，乙数是多少? 8.陈敏要购物三次，为了使每次都不产生 10元以下的找赎， 5元、 2元、 1元的硬币最少总共要带几个？ （硬币只有 5元、 2元、 1元三种 .） 9..将2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数，使得两个1之间有一个数字，两个2之间有二个数字，两个3之间有三个数字，两个4之间有四个数字，那么这样的八位数中最小的是？ 10.有A、B、C三种盐水，按A与B的数量之比为2：1混合，得到浓度为13％的盐水；按A与B的数量之比为1：2混合，得到浓度为14％的盐水；按A、B、C的数量之比为1：1：3混合，得到浓度为10.2％的盐水，问盐水C的浓度是多少？ 过桥问题（1） 1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分钟行400米，这列火车通过长江大桥需要多少分钟？ 分析：这道题求的是通过时间。

9、根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道路程和速度。

10、路程是用桥长加上车长。

11、火车的速度是已知条件。

12、 总路程： （米） 通过时间： （分钟） 答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。

13、 2. 一列火车长200米，全车通过长700米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？ 分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。

14、我们知道，要想求车速，我们就要知道路程和通过时间这两个条件。

15、可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车速可以很方便求出。

16、 总路程： （米） 火车速度： （米） 答：这列火车每秒行30米。

17、 3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山洞长多少米？ 分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。

18、火车头进山洞就相当于火车头上桥；全车出洞就相当于车尾下桥。

19、这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道总路程和车长，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。

20、 总路程： 山洞长： （米） 答：这个山洞长60米。

21、 和倍问题 1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？ 我们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦奋的4倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的5倍是40岁，也就是（4＋1）倍，也可以理解为5份是40岁，那么求1倍是多少，接着再求4倍是多少？ （1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5（倍） （2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁 （3）妈妈的年龄：8×4＝32岁 综合：40÷（4＋1）＝8岁 8×4＝32岁 为了保证此题的正确，验证 （1）8＋32＝40岁 （2）32÷8＝4（倍） 计算结果符合条件，所以解题正确。

22、 2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行，3小时共飞行3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它们的速度各是多少？ 已知两架飞机3小时共飞行3600千米，就可以求出两架飞机每小时飞行的航程，也就是两架飞机的速度和。

23、看图可知，这个速度和相当于乙飞机速度的3倍，这样就可以求出乙飞机的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度。

24、 甲乙飞机的速度分别每小时行800千米、400千米。

25、 3. 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？ 思考：（1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？ （2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？ （3）如果把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的几倍？ 思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。

26、根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书。

27、如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而兄弟俩人课外书的总数始终是不变的数量。

28、 （1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋25＝45。

29、 （2）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是2＋1＝3。

30、 （3）哥哥剩下的课外书的本数是45÷3＝15。

31、 （4）哥哥给弟弟课外书的本数是25－15＝10。

32、 试着列出综合算式： 4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？ 根据甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，可求出这时甲、乙两库共存粮多少吨。

33、根据“这时甲库存粮是乙库存粮的2倍”，如果这时把乙库存粮作为1倍，那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的3倍。

34、于是求出这时乙库存粮多少吨，进而可求出乙库原来存粮多少吨。

35、最后就可求出甲库原来存粮多少吨。

36、 甲库原存粮130吨，乙库原存粮40吨。

37、 列方程组解应用题（一） 1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？ 依据题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列出两个方程，组在一起，就是方程组。

38、 两个等量关系是：A做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数 B制出的盒身数×2=制出的盒底数 用86张白铁皮做盒身，64张白铁皮做盒底。

39、 奇数与偶数（一） 其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。

40、 凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大于零的奇数又叫单数。

41、 因为偶数是2的倍数，所以通常用 这个式子来表示偶数（这里 是整数）。

42、因为任何奇数除以2其余数都是1，所以通常用式子 来表示奇数（这里 是整数）。

43、 奇数和偶数有许多性质，常用的有： 性质1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。

44、 例如：8+4=12，8-4=4等。

45、 两个奇数的和或差也是偶数。

46、 例如：9+3=12，9-3=6等。

47、 奇数与偶数的和或差是奇数。

48、 例如：9+4=13，9-4=5等。

49、 单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数。

50、 性质2 奇数与奇数的积是奇数。

51、 偶数与整数的积是偶数。

52、 性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。

53、 1. 有5张扑克牌，画面向上。

54、小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？ 同学们可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。

55、要想使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。

56、 5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。

57、而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。

58、 所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。

59、 2. 甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。

60、那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？ 不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。

61、所以他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋子。

62、 如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。

63、否则甲盒子中的黑子数不变。

64、也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数。

65、由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。

66、所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。

67、 奥赛专题 -- 称球问题 例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。

68、已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。

69、 解 ：依次从第一、二、三、四堆球中，各取2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。

70、 2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。

71、 解 ：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。

72、若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。

73、 第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。

74、 第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。

75、 例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。

76、 解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。

77、把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则 （1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。

78、如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。

79、如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。

80、 （2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。

81、 （3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。

82、 奥赛专题 -- 抽屉原理 【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。

83、为什么？ 【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。

84、如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。

85、 【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。

86、这是为什么？ 【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。

87、而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。

88、我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。

89、换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。

90、既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。

91、所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。

92、 【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？ 【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。

93、 按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。

94、拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿走。

95、如果再补进2只，又可取得第3双。

96、所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。

97、 思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？ 2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？ 3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？ 【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？ 【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。

98、 最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。

99、 接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。

100、 故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。

101、 思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？ 当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。

102、 奥赛专题 -- 还原问题 【例1】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。

103、这时他的存折上还剩1250元。

104、他原有存款多少元？ 【分析】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应受到启发：要想还原，就得反过来做（倒推）。

105、由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是 1250+100=1350（元） 余下的钱（余下一半钱的2倍）是： 1350×2=2700（元） 用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。

106、综合算式是： [（1250+100）×2+50]×2=5500（元） 还原问题的一般特点是：已知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（运算前或增减变化前）的数量。

107、解还原问题，通常应当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行相应的逆运算。

108、 【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。

109、哥哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。

110、弟弟觉得自己能行，又 从哥哥那里拿来一半。

111、哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。

112、问最初弟弟准备挑多少块？ 【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。

113、只要解一个“和差问题”就知道：哥哥挑“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”块。

114、 提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）以几，还原时应为除（乘）以几。

115、 对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于验算。

116、 奥赛专题 -- 鸡兔同笼问题 例1 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ [分析] ：如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。

117、 解：①鸡有多少只？ （4×6-128）÷（4-2） =（184-128）÷2 =56÷2 =28（只） ②免有多少只？ 46-28=18（只） 答：鸡有28只，免有18只。

118、 例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？ [分析]： 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？ 假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。

119、 解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。

120、 100-20=80（只）。

121、 答：鸡与兔分别有80只和20只。

122、 例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？ [分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。

123、 结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？ 解法1： 一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3 =44（人） 二班：44+5=49（人） 三班：49-7=42（人） 答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。

124、 [分析2] 假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？ 解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人） 49-5=44（人），49-7=42（人） 答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。

125、 例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？ [分析] 我们分步来考虑： ①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。

126、 ②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。

127、 ③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。

128、 解：[6×10-(41+1）÷（6-4） = 18÷2=9（条） 10-9=1（条） 答：有9条小船，1条大船。

129、 例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？ [分析] 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）. 解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？ 6×18=108（条） ②有蜘蛛多少只？ （118-108）÷（8-6）=5（只） ③蜻蜒、蝉共有多少只？ 18-5=13（只） ④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对） ⑤蜻蜒多少只？ （20-13）÷ 2-1）= 7（只） 答：蜻蜒有7只.。

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